Siempre me han gustado los razonamientos sencillos que expresan mucho contenido. Especialmente, en la astronomía se encuentran algunos de estos. El más célebre y divertido es el cálculo de Eratóstenes (Cirene, 276 a. C. - Alejandría, 194 a. C.) de la circunferencia de la Tierra. Este conocimiento no se tomó en cuenta durante muchos siglos, e incluso Colon no tuvo cálculos parecidos para estimar la distancia hacia la India desde el oeste de Europa, casi 1700 años después.
La primera vez que vi el cálculo de Eratóstenes fue en la serie Cosmos de Carl Sagan en el capítulo 1: Las orillas del océano cósmico. Eratóstenes fue un sabio griego que ejerció la geografía como una disciplina y gracias a ello llegó a calcular la distancia al Sol en unos 804 000 000 estadios que equivale a 148 752 060 km, muy similar a la unidad astronómica actual. También estimó la distancia a la Luna en 780 000 estadios, sin embargo, en este último subestimó el cálculo.
Cosmos, Capítulo 1 (min 28:15 a 34:40)
Fuente: YoutubeAsimismo, determinó la oblicuidad de la eclíptica respecto del ecuador en 23º 51' 19'', dato que usó Ptolomeo. Sin duda su célebre cálculo de la circunferencia de la Tierra hace más de 2200 años es impactante por su simplicidad y por el supuesto que nuestro planeta era una esfera.
Eratóstenes tuvo conocimiento en la Biblioteca de Alejandría que en la ciudad de Siena, la actual Asuán, no había sombra al mediodía en el solsticio de verano, mientras que ese mismo día en la ciudad de Alejandría sí había sombra. Hoy es conocido que los lugares entre los trópicos no tienen sombra al mediodía dos veces al año. Esto es porque el eje de rotación está inclinado respecto del ecuador, lo que produce que los rayos del Sol se proyecten perpendicularmente sobre la Tierra solo en una franja limitada por dos extremos llamados trópicos (Capricornio y Cáncer). En otras partes del planeta, fuera de esos límites, siempre hay sombra al mediodía.
La eclíptica y los trópicos
En realidad, Siena no se encuentra exactamente en un lugar tropical, está casi a 0,5° al norte del Trópico de Cáncer, es decir, a 68 km aproximadamente. Probablemente, la sombra fue muy pequeña para ser observada en el solsticio de verano. Si consideramos que por el movimiento de la Tierra en época de Eratóstenes (hace 2200 años) los trópicos estaban más cerca del ecuador, entonces la distancia de Siena al Trópico de Cáncer era de 41 km.
Asimismo, Siena y Alejandría no se encuentran en el mismo meridiano, es decir una línea imaginaria que dé la vuelta a la Tierra pasando por esos dos puntos no pasará por los polos terrestres. La diferencia es de aproximadamente 3° de longitud.
Ubicación de Siena y Alejandría
El razonamiento para deducir la esfericidad o la curvatura de la Tierra es simple, si en dos lugares distantes un mismo día se tienen sombras del mismo tamaño de un mismo gnomon, o no se tienen sombras, entonces se puede pensar que la Tierra es plana. Pero eso no ocurría, entonces la Tierra es curva.
Con los instrumentos de la época, Eratóstenes pudo medir en Alejandría el ángulo que hace la sombra de un gnomon al mediodía del solsticio de verano. Actualmente, eso lo podemos fácilmente hacer usando un poco de trigonometría porque se forma un triángulo recto, dividiendo la longitud del gnomon entre la longitud de la sombra para hallar el arco tangente. Los conceptos de trigonometría aparecieron aproximadamente en la época de Eratóstenes gracias a Aristarco e Hiparco. Si no lo hizo, podría haber utilizado la medida egipcia del seked sabiendo el origen cirenaico de Eratóstenes.
Trigonometría de la sombra
Conociendo el valor de ese ángulo α, que era aproximadamente 7,2° (1/50 de un círculo), usó la propiedad de la igualdad de los ángulos formados por una recta que interseca a dos rectas paralelas, de tal manera que determinó que el ángulo de la sombra del gnomon es igual al ángulo que hace Siena, Alejandría y el centro de la Tierra.
Cálculo de la circunferencia de la Tierra
A continuación, solo queda saber la distancia entre Siena y Alejandría para que con una regla de tres se determinara la circunferencia de la Tierra. Eratóstenes estimó esa distancia en 5040 estadios que equivalen aproximadamente a 794.8 km, por lo tanto:
794.8 km / 7,2° = x / 360° , donde x es la circunferencia de la Tierra.
Despejando x, la circunferencia de la Tierra es de 39 740 km. Si consideramos la circunferencia a través de los polos, el cálculo actual es de 40 007 km, es decir, un error de 0,67%, realmente bajo a pesar de que Siena y Alejandría no están en el mismo meridiano y que Siena no se encuentra exactamente en el Trópico de Cáncer.
